“Gödel Kanıtlaması”na dair – Pervin Ayça Akarsu

Kesinlik nedir?
Türk Dil Kurumu Felsefe Terimleri Sözlüğü?nde nesnel kesinlik şöyle tanımlanıyor: Bir bilginin, bilgi temelleri ve konu üzerindeki nesnel görüşlere dayanan güvenilirliği, geçerliği. Doğruluk kavramıyla zaman zaman, özellikle günlük hayatta sıkça karıştırılan kesinlik kavramının tanımındaki ?bilginin temelleri? noktası, belki de bu tanımın, üzerinde en çok durulması gereken yanı.
Matematiğin çağlarca sanattan, felsefeden ve diğer toplum bilimlerinden bariz bir şekilde ayrıldığı yön nesnel kesinlikti. Matematiğin ortaya koydukları kesindi. Temelleri sağlamdı. Matematik eksiksiz ve tutarlıydı. Matematiğin verebileceği tüm bilgiler dizgeselleştirilebilir, yani bir bütün oluşturacak şekilde birbirine bağlanabilirlerdi. Bu dizgelerin doğru oldukları ise kesin olarak kanıtlanabilirdi.
Temellerini m.ö. 300 yılında Elementler isimli kitabında Eukleides?in attığı dizgesel (aksiyomatik) yöntem, neden ve neye göre seçildiği tam bilinemeyen temel aksiyomların seçilmesi ve bu aksiyomlar üzerinden, kanıtlanabilirliği olan teoremler üretilmesiyle işliyordu. Bu yöntem, matematikten beklenen her şeyi de karşılıyordu: kanıtlanabilirlik, kesinlik, eksiksizlik…
Euklides?in sezgisel olarak beş dizgeyle temellendirdiği aksiyomatik yöntemde ilgi çeken, ve ilk dördünden farklı olan beşinci belitti. Günümüzde de liselerde geometrinin ilk dersinde öğretilen bu beş belitin sonuncusu hepimizin bildiği ?Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir? maddesiydi.
Euklides?den iki bin yıl sonra Gauss ve Reimann gibi büyük matematikçiler bu aksiyomu kanıtlamak yerine yanlış kabul ederek, yok sayarak veya tam tersini doğru alarak yeni geometriler kurulabileceğini gösterdiler.
Yirminci yüzyılın başlarında ortaya çıkan bu gibi farklı geometriler, insanların karşısına yepyeni sorular çıkarıyor, iki bin yıllık gerçekler bir anda tepetaklak oluyordu. Matematiği matematik yapan, diğer düşünce disiplinlerinden ayrı bir yere koyan ?kesinlik? özelliği matematiğin elinden alınıyordu.
Yine aynı zamanlarda Alman matematikçi Gottlob Frege aritmetiğin mantıksal sürecini irdeleyen kitabının ikinci cildini yeni bitiriyordu. Fakat Frege de bir darbeyle karşılaşacaktı. İngiliz filozof ve matematikçi Bertrand Russell?ın bugün kendi ismiyle anılan paradoksu küme üyeliğiyle ilgiliydi ve küme teorisinin gelişimine büyük katkıda bulunurken, Frege?in eserini temelinden sarsıyordu.
?Kendi kendisinin üyesi olmayan tüm kümelerin kümesi, kendisinin bir üyesi miydi??Üyesiyse, değil; değilse üyesi oluyordu. Russell, iki çeşit küme var diyordu; kendisinin elemanı olan kümeler ve kendisinin elemanı olmayan kümeler. Kendisinin elemanı olan kümelere ?X? diyelim. X kendisinin elemanı mıdır?
Bu paradoks günlük anlatımla şöyle biliniyor: Bir şehirde, kendi saçını kesmeyen herkesin saçını kesen ve başka kimsenin saçını kesmeyen bir berber vardı. Bu berber kendi saçını kesebilir mi?
Kesebilirse, ?kendi saçını kesmeyen? noktası; kesemezse ?kendi saçını kesemeyen herkesin saçını kestiği? noktası sağlanmamış oluyordu. Aslında Epimenides Paradoksu olarak da anılan ve Russell?ın küme kuramına uyarladığı bu paradoks veya ?Hiçbir cümle kendisinden bahsedemez? gibi kendine referans paradokslar, matematiği tehdit ediyordu. Bu nedenle Bertrand Russell ve yine ünlü bir İngiliz matematikçi ve filozof olan Alfred North Whitehead, birlikte temelleri güçlü ve kesin olan dizgeler oluşturmak istediler. Bu çalışmanın birincil amacı matematiği mantıksal kurallar dahilinde neredeyse yeniden oluşturmak, ?kendini yutan küme? gibi kavramların yol açtığı paradokslardan temizlemek, kurtarmaktı. Bütün matematik temellerini ve matematiksel gerçekleri iyi tanımlanmış bir aksiyomlar kümesi ve çıkarsama kurallarıyla açıklama girişimi olan üç ciltlik eserin adı ?Principia Mathematica?ydı.
1910-1913 yılları arasında yayımlanan eserden kısa bir süre sonra, 1931 senesinde, henüz yirmi beş yaşında Kurt Gödel isimli genç bir matematikçi, Viyana Üniversitesi?ndeki doktora çalışmaları esnasında bir makale yayımladı. Makalenin başlığı şuydu: ?Principia Mathematica ve Benzeri Dizgelerin Biçimsel Olarak Doğruluğuna Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine?.
1952 senesinde Gödel?in Harvard Üniversitesinde onursal dereceyle ödüllendirilmesini sağlayan bu makalede Gödel ?Eksiklik Teoremleri?ni kanıtlıyor, tüm sistemlerin sayılar teorisi içinde incelenebilmesini olanaklı kılan ?Gödel Sayılaştırması?nı açıklıyordu.
Gödel?in sunduğu kanıt öyle ya da böyle herkesin hayatında yer edinmiş bir bilim olan?matematik? açısından çok önemliydi. Fakat bir matematikçinin ifadeleriyle, semboller ve özel anlatımlarla yazılan makaleyi anlamak kolay değildi. Ernest Nagel ve James R. Newman tarafından, kendi deyişleriyle ?Gödel?in buluşunun özünü ve kanıtlamasının ana hatlarını uzman olmayan okuyucuya ulaştırabilmek? amacıyla bir kitap hazırlandı: Gödel?s Proof, yani Gödel Kanıtlaması.
Gödel Kanıtlaması, Ernest ve Newman?ın kapsamlı açıklamalarıyla Gödel?in eksiklik teoremini, ?Principia Mathematica ve Benzeri Dizgelerin Biçimsel Olarak Doğruluğuna Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine? başlıklı makalesini anlamamızı olanaklı kılıyor.
Çevirisini B. Meltzer?in yaptığı(1962 Basic Books, New York) makale şöyle başlıyordu: ?Matematiğin giderek daha çok kesinlik yönünde ilerlemesi, bilindiği gibi, matematiğin büyük bir kısmının biçimselleştirilmesiyle öne çıkmıştır; öyle ki, kanıtlamalar az sayıda mekanik kuralla yapılabilir. Şimdiye kadar kurulan en kapsamlı biçimsel dizgeler, bir yanda Principia Mathematica, diğer yanda da Zermelo-Fraenkel?in kümeler kuramı için geliştirdiği (daha sonra J.V Neumann tarafından genişletilen) aksiyomatik dizgedir. Bu dizgeler öylesine kapsamlıdır ki, bugün matematikte kullanılan tüm kanıtlama yöntemleri onlar tarafından biçimselleştirilmiştir; yani az sayıda aksiyoma ve çıkarım kuralına ingirdenmiştir. Dolayısıyla, bu aksiyomların ve çıkarım kurallarının söz konusu dizgelerde biçimsel olarak ifade edilebilecek her matematiksel soruya karar verebilmeye yeterli olacakları düşünülmüştür. Aşağıda bunun geçerli olmadığı gösterilmiştir; yani sözü edilen her iki dizgede de tam sayılar kuramı içinde aksiyomlardan kalkılarak karar verilemeyecek oldukça basit önermeler vardır.?
Kitabın Bülent Gözkan tarafından yazılan sunuş bölümü, kanıtlamanın kapsamını ve nedenlerini açıklayan bu alıntıyla başlıyor. Sistemdeki her doğru teoremin kanıtlanamayacağını (yani kesin olamayacağını), tutarlı olan her aksiyomatik sistemde belirsiz önermeler bulunduğunu (yani sistemin eksik olduğunu), aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını, sistemin içinden formüller kullanarak ispatlamanın olanaklı olmadığını gösteren Gödel, işte tam bu şekilde, Eukleides belitlerinin, Reimann geometrisinin, karşımıza çıkan paradoksların başka yönlerini görmemizi sağlıyor.
Gödel?in eksiklik teoremleri yaygın bir tartışma konusu olan ?doğruluk-kesinlik farkı?nı da gösteriyor. Bilginin, bilgi temellerine dayanan güvenilirliği gerçek kabul edilen değerlerden, yani kesinlik doğruluktan keskin bir şekilde ayrılıyor.
Sezgilere dayanan matematiğin adeta yeni bir çığır açmasına neden olan teoremleriyle düşünce ve bilim dünyasını, mantığı ve matematiği sarsan Gödel, bugün tüm zamanların en önemli mantık adamlarından biri olarak anılıyor. Ernest Nagel ve James Newman tarafından hazırlanan, Bülent Gözkan tarafından çevirisi yapılarak dilimize kazandırılan ve Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi tarafından geçtiğimiz ay yayımlanan Gödel Kanıtlaması, günlük hayattan ayrı tutamayacağımız bilimin, matematiğin ve felsefenin gelişimini, dolayısıyla yaşamımıza katacaklarını yorumlama yolunda okumamız gereken önemli bir yapıt.

Yazan: Pervin Ayça Akarsu
İstanbul, 21 Mart 2008
aycaakarsu@yahoo.com

Kitabın Künyesi
Gödel Kanıtlaması (Gödel?s Proof)
Ernest Nagel . James R. Newman
Sunuş ve Çeviri: Bülent Gözkan
Boğaziçi Üniversitesi Yayınları

Yorum yapın

Daha fazla Felsefe
Sefaletin Yoksulluğu Kovduğu Bir Dünya – Macit Rahnema

Macit Rahnema Lyon?da yaşayan İranlı bir düşünür, yazar ve eski diplomat. Aynı zamanda pek çok ulusal ve uluslararası projede görev...

Kapat